真分数
zhēn fēn shù
真分数是分子小于分母的分数，表示的数量小于一整体。
Definition
真分数是指分子小于分母的分数，因此它的值总是小于$1$整体：例如$1/2$、$3/4$、$5/8$。更精确地说，真分数$a/b$满足$0 \le a < b$且$b > 0$，因此它的绝对值严格小于$1$，在数轴上位于$-1$和$1$之间。这个概念也延伸到有理函数：在部分分式分解中，真有理函数$P(x)/Q(x)$满足$\deg(P) < \deg(Q)$，而假有理函数必须先经过除法提取出多项式部分，才能进行部分分式分解，这与整数/真分数的划分完全对应。
Example
$3/5$是真分数，因为$3$小于$5$：如果你吃掉一个$5$片比萨饼中的$3$片，你吃的少于整个比萨饼。将$7/9$（真分数，约$0.778$）与$9/7$（假分数，约$1.286$，位于区间$(0, 1)$之外）作对比。对于假有理函数$(x^3+2x)/(x^2+1)$，多项式长除法给出$x + x/(x^2+1)$；余下的$x/(x^2+1)$现在是真分数（次数$1$小于次数$2$），可以直接积分为$\frac{1}{2}\ln(x^2+1)$。
Key Insight
"真"（proper）这个词暗示这些分数始终停留在$0$和$1$之间，表示单个整体的一部分而非超过一个整体，而$(0, 1)$内的每一个有理数都是真分数：在化简假分数或简化带分数时，剩下的分数部分总是真分数。有理函数的真/假之分是实数通过取整函数划分为整数部分和小数部分的代数类比；这两种情形都反映了带余除法算法，$\text{dividend} = (\text{quotient})(\text{divisor}) + \text{remainder}$，其中$|\text{remainder}| < |\text{divisor}|$。