Fracción Propia
Una fracción propia es aquella en la que el numerador es menor que el denominador, y representa una cantidad menor que un entero.
Definition
Una fracción propia es aquella en la que el numerador es menor que el denominador, por lo que su valor siempre es menor que $1$ entero: ejemplos incluyen $1/2$, $3/4$, $5/8$. Más precisamente, una fracción propia $a/b$ cumple $0 \le a < b$ con $b > 0$, por lo que su valor absoluto es estrictamente menor que $1$ y se ubica entre $-1$ y $1$ en la recta numérica. La idea se extiende a las funciones racionales: en la descomposición en fracciones parciales, una función racional propia $P(x)/Q(x)$ cumple $\deg(P) < \deg(Q)$, y una función racional impropia debe dividirse primero para extraer una parte polinómica antes de aplicar fracciones parciales, reflejando exactamente la división entre entero y fracción propia.
Example
$3/5$ es una fracción propia porque $3$ es menor que $5$: si comes $3$ rebanadas de una pizza de $5$ rebanadas, comiste menos que la pizza entera. Compara $7/9$ (propia, $\approx 0.778$) con $9/7$ (impropia, $\approx 1.286$, fuera del intervalo $(0, 1)$). Para la función racional impropia $(x^3+2x)/(x^2+1)$, la división larga de polinomios da $x + x/(x^2+1)$; el residuo $x/(x^2+1)$ ahora es propio (grado $1$ < grado $2$) y puede integrarse directamente como $\frac{1}{2}\ln(x^2+1)$.
Key Insight
La palabra "propia" sugiere que estas fracciones se mantienen en su lugar entre $0$ y $1$, representando partes de un solo todo en lugar de más de un todo, y todo número racional en $(0, 1)$ es una fracción propia: al reducir una fracción impropia o simplificar un número mixto, la parte fraccionaria que queda siempre es propia. La distinción entre propia e impropia para funciones racionales es el análogo algebraico de la división entre parte entera y parte fraccionaria de los números reales mediante la función piso; ambos casos reflejan el algoritmo de la división, $\text{dividend} = (\text{quotient})(\text{divisor}) + \text{remainder}$, con $|\text{remainder}| < |\text{divisor}|$.