乘积法则
chéng jī fǎ zé
乘积法则给出两个函数乘积的导数:(fg)' = f'g + fg'。
Formula
\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
Definition
当两个函数相乘时，乘积法则说：第一个函数求导乘以第二个函数保持不变，再加上第一个函数保持不变乘以第二个函数求导。若 $f$ 和 $g$ 都可导，则 $(fg)' = f'g + fg'$，可以通过在差商极限中加减 $f(x+h)g(x)$ 从定义出发证明。这就是导数的莱布尼茨法则：在微分算子的语境下，它定义了代数上的一个求导，$D(fg) = D(f)g + fD(g)$，并通过 $(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C(n,k) f^{(k)} g^{(n-k)}$ 推广到高阶导数。
Example
对 $x^2 \sin(x)$ 求导得到 $(2x)(\sin x) + (x^2)(\cos x) = 2x\sin x + x^2\cos x$。对于 $f(x) = e^x x^3$：$f'(x) = e^x x^3 + e^x \cdot 3x^2 = e^x(x^3 + 3x^2)$。这条法则可推广到三个或更多因子的情形，$(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$，广义莱布尼茨法则则给出例如 $(x e^x)'' = e^x(x + 2)$。
Key Insight
不能直接把两个导数相乘；乘积法则考虑到两个函数同时在变化，而多因子版本中的项数恰好等于因子的个数。莱布尼茨法则在许多推广情形下都得以保留，包括广义函数、p-进导数以及微分形式上的外微分。