Regla del Producto
La regla del producto da la derivada de un producto de dos funciones: (fg)' = f'g + fg'.
Formula
\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
Definition
Cuando dos funciones se multiplican, la regla del producto dice: deriva la primera y deja la segunda, más deja la primera y deriva la segunda. Si $f$ y $g$ son diferenciables, $(fg)' = f'g + fg'$, lo cual se demuestra a partir de la definición sumando y restando $f(x+h)g(x)$ dentro del límite del cociente diferencial. Esta es la regla de Leibniz para derivadas: en el contexto de operadores diferenciales, define una derivación en un álgebra, $D(fg) = D(f)g + fD(g)$, y se generaliza a derivadas de orden superior mediante $(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C(n,k) f^{(k)} g^{(n-k)}$.
Example
Diferenciar $x^2 \sin(x)$ da $(2x)(\sin x) + (x^2)(\cos x) = 2x\sin x + x^2\cos x$. Para $f(x) = e^x x^3$: $f'(x) = e^x x^3 + e^x \cdot 3x^2 = e^x(x^3 + 3x^2)$. La regla se extiende a tres o más factores, $(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$, y la regla de Leibniz generalizada da, por ejemplo, $(x e^x)'' = e^x(x + 2)$.
Key Insight
No basta con multiplicar las dos derivadas; la regla del producto tiene en cuenta que ambas funciones cambian al mismo tiempo, y el número de términos en la versión de varios factores es igual al número de factores. La regla de Leibniz se conserva bajo muchas generalizaciones, incluyendo distribuciones, derivadas p-ádicas y la derivada exterior en formas diferenciales.