概率
gài lǜ
概率是一个介于 0 和 1 之间的数值，用来衡量某个特定事件发生的可能性。
Formula
\text{P(event)} = \dfrac{\text{number of favorable outcomes}}{\text{total number of equally likely outcomes}}
Definition
概率是一个从 0 到 1 的数值，描述某件事发生的可能性有多大：概率为 0 表示不可能，1 表示确定，0.5 表示发生和不发生的可能性相等。对于等可能的结果：$P(\text{event}) = \text{favorable outcomes}/\text{total outcomes}$，遵循规则 $0 \le P(A) \le 1$、$P(\text{certain event}) = 1$ 以及 $P(\text{impossible event}) = 0$。形式上，在柯尔莫哥洛夫的公理化框架中，概率空间是一个三元组 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$，其中 $\Omega$ 是样本空间，$\mathcal{F}$ 是事件的 $\sigma$ 代数，$P: \mathcal{F} \to [0,1]$ 是满足 $P(\Omega)=1$、$P(\emptyset)=0$ 以及可数可加性 $P(\bigcup A_i) = \sum P(A_i)$ 的概率测度，概率的所有性质都由此推导而来。
Example
抛一枚均匀硬币时，正面朝上的概率是 $1/2 = 0.5 = 50\%$；掷一个均匀骰子时，掷出 $4$ 的概率是 $1/6$。从一副 $52$ 张的标准扑克牌中，抽到红桃的概率是 $13/52 = 1/4 = 0.25$，抽到花牌的概率是 $12/52 = 3/13$。$\mathbb{R}$ 上的博雷尔 $\sigma$ 代数是包含所有开区间的最小 $\sigma$ 代数，限制在 $[0,1]$ 上的勒贝格测度给出均匀概率测度，这为离散和连续样本空间的概率论提供了形式化基础。
Key Insight
概率回答的是"这件事有多大可能？"这个问题，所有可能结果的概率必须加起来等于 $1$；如果 $P(\text{rain}) = 0.7$，那么 $P(\text{no rain}) = 0.3$，因为 $0.7+0.3=1$。频率学派解释将 $P(A)$ 视为在无限多次试验中 $A$ 的长期相对频率，而贝叶斯解释将其视为随着新证据到来通过贝叶斯定理更新的主观信念程度；两种解释都满足柯尔莫哥洛夫公理。