Prisma
Un prisma es un sólido 3D con dos bases poligonales paralelas y congruentes, unidas por caras laterales rectangulares.
Formula
V = B \times h \ (B = \text{base area})
Definition
Un prisma es una figura 3D con dos bases poligonales paralelas y congruentes conectadas por caras laterales rectangulares (o, en el caso de prismas oblicuos, paralelogramos); volumen $= \text{base area} \times \text{height}$, y área de superficie $= \text{lateral area} + 2 \times \text{base area}$. Formalmente, un prisma es el producto cartesiano de un polígono $P$ con un segmento de recta $[0, h]$, $\{(x, y, z) : (x, y) \in P, 0 \le z \le h\}$, por lo que su volumen es $\text{Area}(P) \cdot h$ por el principio de Cavalieri, ya que toda sección transversal paralela a la base es congruente con $P$; los prismas oblicuos usan la misma fórmula con $h$ como la altura perpendicular.
Example
Una caja de galletas es un prisma rectangular, y la caja de una barra de chocolate Toblerone es un prisma triangular, ambas con dos extremos iguales y lados planos que los conectan. Un prisma pentagonal tiene $2$ bases pentagonales y $5$ lados rectangulares, dando $7$ caras, $15$ aristas y $10$ vértices, satisfaciendo la fórmula de Euler $F + V - E = 2$: $7 + 10 - 15 = 2$. Un prisma truncado (tronco de un prisma) puede calcularse mediante la fórmula del prismatoide $V = (h/6)(A_{top} + A_{bottom} + 4A_{mid})$, donde $A_{mid}$ es el área de la sección transversal a media altura, una fórmula que se generaliza a pirámides y conos.
Key Insight
Los prismas se nombran según la forma de su base: un prisma triangular tiene bases triangulares y un prisma hexagonal tiene bases hexagonales; la palabra "prisma" en óptica se refiere al prisma de vidrio triangular que separa la luz blanca en un arcoíris. Todo prisma satisface la fórmula poliédrica de Euler $F + V - E = 2$: para bases de n lados, $F = n + 2$, $V = 2n$, $E = 3n$, dando $(n+2) + 2n - 3n = 2$. La fórmula del volumen del prismatoide $V = (h/6)(A_1 + 4A_m + A_2)$ es la regla de Simpson aplicada a la función de área, una conexión profunda entre la geometría sólida y la integración numérica.