原像
yuán xiàng
原像是施加变换之前的原始图形。
Definition
原像是任何变换应用之前的原始图形；变换之后得到的图形称为像，用不带撇号的字母表示原像（$A$、$B$、$C$），像则使用带撇号的字母（$A'$、$B'$、$C'$）。给定像和变换，可以应用逆变换来反推原像：对于按 $(a,b)$ 平移，逆变换是按 $(-a,-b)$ 平移；对于按 $k$ 位似，逆变换是按 $1/k$ 位似。严格地说，集合 $S$ 在变换 $T$ 下的原像是 $T^{-1}(S) = \{x : T(x) \in S\}$；对于双射变换，$T^{-1}(T(S)) = S$，在拓扑学中，$T$ 的连续性正是通过要求开集的原像是开集来定义的，把原像这一概念与连续性联系起来。
Example
如果三角形 $ABC$ 旋转 $90$ 度得到三角形 $A'B'C'$，那么 $ABC$ 是原像，$A'B'C'$ 是像。从原点按缩放因子 $3$ 的位似变换把原像三角形 $(1,1),(2,1),(1,3)$ 映射为像 $(3,3),(6,3),(3,9)$；要从像反推原像，只需把坐标除以 $3$。y轴 $\{(0,y)\}$ 在 $T(x,y) = (x^2, y)$ 下的原像是 $T^{-1}(\{(0,y)\}) = \{(x,y) : x^2 = 0\}$，正是y轴本身；对于非单射映射，原像可能是更大的集合。
Key Insight
"pre"意为在……之前：原像在先，随后应用变换，得到像，即规则应用之后的原始图形与副本。通过原像来定义连续性的拓扑学定义，把实函数的epsilon-delta定义与抽象空间中的连续性统一起来，这种抽象促成了20世纪初一般拓扑学和泛函分析的发展。