Preimagen
La preimagen es la figura original antes de aplicar una transformación.
Definition
La preimagen es la figura original antes de aplicar cualquier transformación; después de la transformación, la figura resultante se llama imagen, denotada sin marcas de prima ($A$, $B$, $C$) mientras que la imagen usa marcas de prima ($A'$, $B'$, $C'$). Dada la imagen y la transformación, puedes trabajar hacia atrás para hallar la preimagen aplicando la transformación inversa: para una traslación por $(a,b)$, la inversa es una traslación por $(-a,-b)$, y para una dilatación por $k$, la inversa dilata por $1/k$. Formalmente, la preimagen de un conjunto $S$ bajo la transformación $T$ es $T^{-1}(S) = \{x : T(x) \in S\}$; para una transformación biyectiva, $T^{-1}(T(S)) = S$, y en topología, la continuidad de $T$ se define exigiendo que las preimágenes de conjuntos abiertos sean abiertas, conectando el concepto de preimagen con la continuidad.
Example
Si el triángulo $ABC$ se rota $90$ grados para producir el triángulo $A'B'C'$, entonces $ABC$ es la preimagen y $A'B'C'$ es la imagen. Una dilatación con factor de escala $3$ desde el origen transforma el triángulo preimagen $(1,1),(2,1),(1,3)$ en la imagen $(3,3),(6,3),(3,9)$; para hallar la preimagen dada la imagen, divide las coordenadas entre $3$. La preimagen del eje y $\{(0,y)\}$ bajo $T(x,y) = (x^2, y)$ es $T^{-1}(\{(0,y)\}) = \{(x,y) : x^2 = 0\}$, que es el eje y mismo; para aplicaciones no inyectivas, las preimágenes pueden ser conjuntos más grandes.
Key Insight
"Pre" significa antes: la preimagen viene primero, luego se aplica la transformación, dando la imagen, el original y la copia después de aplicar la regla. La definición topológica de continuidad mediante preimágenes unifica la definición épsilon-delta para funciones reales con la continuidad en espacios abstractos, una abstracción que permitió el desarrollo de la topología general y el análisis funcional a principios del siglo XX.