幂法则
mì fǎ zé
幂法则是求导法则,表明 $\dfrac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}$,使多项式项的求导变得简单。
Formula
\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}
Definition
幂法则是一条快捷法则：要对 $x$ 的某个幂求导，把这个幂次乘到前面，再把指数减去 $1$。对任意实数 $n$，$d/dx[x^n] = nx^{n-1}$；它对正整数、分数和负指数同样适用，对常数（$n = 0$）则给出 $d/dx[c] = 0$。对整数 $n$，这条法则可由 $(x+h)^n$ 的二项式定理展开推出；对实数 $n$，则可由恒等式 $x^n = e^{n \ln x}$ 结合链式法则推出。
Example
$d/dx[x^5] = 5x^4$：乘以 $5$，再把指数减 $1$。这条法则同样适用于分数和负指数：$d/dx[x^{1/2}] = (1/2)x^{-1/2} = 1/(2\sqrt{x})$，以及 $d/dx[1/x] = d/dx[x^{-1}] = -x^{-2} = -1/x^2$。整数 $n$ 的证明来自 $(x+h)^n = x^n + nx^{n-1}h + O(h^2)$，所以当 $h \to 0$ 时 $[(x+h)^n - x^n]/h \to nx^{n-1}$。
Key Insight
幂法则一步就能处理多项式的每一项，使它成为整个微分学中最常用的法则，与常数倍法则和加法法则结合起来，几秒钟内就能对任意多项式或有理数幂求导。在复分析中，它推广为全纯函数的 $d/dz[z^n] = nz^{n-1}$，在抽象代数中，它启发了多项式环上形式导数的定义。