Regla de la Potencia
La regla de la potencia es la regla de diferenciación que dice $\dfrac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}$, lo que facilita diferenciar términos polinómicos.
Formula
\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}
Definition
La regla de la potencia es un atajo rápido: para diferenciar $x$ elevado a una potencia, se multiplica por esa potencia y luego se resta $1$ al exponente. Para cualquier número real $n$, $d/dx[x^n] = nx^{n-1}$; se aplica igual a enteros positivos, fracciones y exponentes negativos, y para constantes $n = 0$ da $d/dx[c] = 0$. Para $n$ entero, la regla se deduce de la expansión del binomio de $(x+h)^n$; para $n$ real, se deduce de la identidad $x^n = e^{n \ln x}$ y la regla de la cadena.
Example
$d/dx[x^5] = 5x^4$: multiplica por $5$, reduce el exponente en $1$. La regla también funciona para exponentes fraccionarios y negativos: $d/dx[x^{1/2}] = (1/2)x^{-1/2} = 1/(2\sqrt{x})$, y $d/dx[1/x] = d/dx[x^{-1}] = -x^{-2} = -1/x^2$. La demostración para $n$ entero viene de $(x+h)^n = x^n + nx^{n-1}h + O(h^2)$, así que $[(x+h)^n - x^n]/h \to nx^{n-1}$ cuando $h \to 0$.
Key Insight
La regla de la potencia maneja cada término polinómico en un solo paso, lo que la convierte en la regla más usada de todo el cálculo diferencial, y combinada con las reglas del múltiplo constante y de la suma, diferencia cualquier polinomio o potencia racional en segundos. En análisis complejo se extiende a $d/dz[z^n] = nz^{n-1}$ para funciones holomorfas, y en álgebra abstracta motiva la definición de derivadas formales en anillos de polinomios.