对数的幂法则
duì shù de mì fǎ zé
对数的幂法则指出,一个数的幂的对数等于该指数乘以这个数的对数。
Formula
\log_b(x^r) = r \log_b(x)
Definition
幂法则说明，某个数的幂的对数等于这个幂乘以该数的对数：对有效底数 $b$、正数 $x$ 和任意实数 $r$，$\log_b(x^r) = r \log_b(x)$。证明：若 $y = \log_b(x)$，则 $x = b^y$，所以 $x^r = b^{ry}$，因此 $\log_b(x^r) = ry = r \log_b(x)$；它由同态性质应用于重复相乘推得，$\log(x^n) = \log(x \cdot x \cdots x) = n\log(x)$，通过连续性推广到实数 $r$。对于复对数，$\log(z^r) = r\log(z)$ 需要谨慎处理分支割线的问题，这条法则对某些指数的复数会朴素地失效。
Example
$\log_2(8^3) = 3 \log_2(8) = 3 \times 3 = 9$，与 $\log_2(512) = 9$（因为 $2^9 = 512$）相符。要解 $5^{2x} = 200$：对两边取对数，$2x \log(5) = \log(200)$，所以 $2x \approx 3.292$，$x \approx 1.646$。在复数中，$\ln((-1)^2) = \ln(1) = 0$，但 $2\ln(-1) = 2i\pi$（主分支），二者不同，说明幂法则对某些指数的复数会朴素地失效，必须谨慎处理分支割线。
Key Insight
幂法则让我们在解指数方程时能够"把指数提下来"，没有它，从 $3^x = 5$ 中分离出 $x$ 是不可能的，但有了它，$x = \log(5)/\log(3)$。幂法则对复数失效反映了复对数的多值性：正确的表述需要指定一个分支，这一细微之处曾在形式化证明中导致过错误，也是复分析比实分析需要更多谨慎处理的一个关键例子。