Regla de la Potencia para Logaritmos
La regla de la potencia para logaritmos establece que el logaritmo de un número elevado a un exponente es igual al exponente multiplicado por el logaritmo del número.
Formula
\log_b(x^r) = r \log_b(x)
Definition
La regla de la potencia dice que el logaritmo de algo elevado a una potencia es igual a esa potencia multiplicada por el logaritmo: para base válida $b$, $x$ positivo, y cualquier $r$ real, $\log_b(x^r) = r \log_b(x)$. Demostración: si $y = \log_b(x)$, entonces $x = b^y$, así que $x^r = b^{ry}$, por lo tanto $\log_b(x^r) = ry = r \log_b(x)$; se sigue de la propiedad de homomorfismo aplicada a la multiplicación repetida, $\log(x^n) = \log(x \cdot x \cdots x) = n\log(x)$, extendida a $r$ real por continuidad. Para logaritmos complejos, $\log(z^r) = r\log(z)$ requiere cuidado con los cortes de rama, y la regla puede fallar ingenuamente para números complejos con ciertos exponentes.
Example
$\log_2(8^3) = 3 \log_2(8) = 3 \times 3 = 9$, coincidiendo con $\log_2(512) = 9$ ya que $2^9 = 512$. Para resolver $5^{2x} = 200$: toma el logaritmo de ambos lados, $2x \log(5) = \log(200)$, así que $2x \approx 3.292$ y $x \approx 1.646$. En los números complejos, $\ln((-1)^2) = \ln(1) = 0$, pero $2\ln(-1) = 2i\pi$ (rama principal), estos difieren, mostrando que la regla de la potencia falla ingenuamente para números complejos con ciertos exponentes, y los cortes de rama deben manejarse con cuidado.
Key Insight
La regla de la potencia es lo que nos permite "bajar" los exponentes al resolver ecuaciones exponenciales, sin ella, aislar $x$ en $3^x = 5$ sería imposible, pero con ella, $x = \log(5)/\log(3)$. El fallo de la regla de la potencia para números complejos refleja la multivaluación del logaritmo complejo: las afirmaciones correctas requieren especificar una rama, una sutileza que ha causado errores en demostraciones formales y es un ejemplo clave de por qué el análisis complejo requiere más cuidado que el análisis real.