正相关
zhèng xiāng guān
正相关是指当一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大。
Definition
正相关意味着两个事物倾向于朝相同方向变化：当一个上升时，另一个也倾向于上升。当相关系数 r 介于 0 和 +1 之间时存在正相关，接近 +1 的值表示强正线性关系，接近 0 表示弱正线性关系；在散点图上，正相关的数据形成从左到右向上倾斜的点云。形式上，正相关对应于正的协方差：$\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] > 0$；对于联合正态的 $(X,Y)$，这意味着已知 $X > \mu_X$ 会使 $Y$ 的条件期望高于 $\mu_Y$，而偏相关衡量在控制一个或多个其他变量的影响后，两个变量之间的正向关联。
Example
学习的时间越多，测验分数往往越高，这是学习时间与测验分数之间的正相关，在散点图上看起来像点从左到右向上漂移，就像一座小山。成年男性的身高和体重呈强正相关（$r \approx 0.7$），可以用一条斜率为正的最佳拟合线来概括：身材更高的男性往往体重更重。在多元回归中，两个预测变量彼此可能呈正相关（$r = 0.8$），且都与响应变量呈正相关，而在控制另一个变量后，每个预测变量与响应变量之间的偏相关揭示了它们各自独特的贡献，这可能与边际相关性不同。
Key Insight
强度和方向同样重要：$r = 0.3$ 是正相关但较弱，而 $r = 0.9$ 是正相关且非常强，因此应始终报告具体数值，而不仅仅是方向。回归中的多重共线性发生在预测变量之间高度正相关（或负相关）时，会使标准误膨胀，让单个系数估计变得不稳定；方差膨胀因子（VIF）可以量化这一问题。