多项式
duō xiàng shì
多项式是由变量和系数通过加、减、乘运算组合而成的代数表达式，其中指数均为非负整数。
Formula
a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0
Definition
多项式是通过对若干项相加或相减而构成的表达式，其中每一项都含有一个取非负整数次幂的变量；在一元（变量为 $x$）情形下，一般形式为 $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0$，其中 $a_i$ 是实系数，指数都是非负整数，次数是其中最高的指数。多项式不能含有负指数、分数指数，也不能在分母中出现变量，它们在加法、减法和乘法下是封闭的。严格地说，域 $F$ 上变量 $x$ 的多项式全体，记作 $F[x]$，构成一个交换环（事实上是一个主理想整环）；根据代数基本定理，复数域上每个 $n$ 次多项式恰好有 $n$ 个根（计入重数），多项式环正是伽罗瓦理论的代数背景，该理论对哪些多项式方程可以用根式求解进行了分类。
Example
$3x^2 + 5x - 2$ 是一个含三项的多项式，$x^4 - 7$ 也是，两者都只使用非负整数次幂（$0, 1, 2, 3, \ldots$）。$4x^3 - 2x^2 + x - 9$ 是一个 $3$ 次多项式，把 $(2x^2 + 3)$ 与 $(4x^2 - x)$ 相加得到 $6x^2 - x + 3$，仍然是一个多项式。$\mathbb{Z}[x]$（整系数多项式）是唯一分解整环，但不是域；高斯引理指出，$\mathbb{Z}[x]$ 中的一个本原多项式在 $\mathbb{Z}[x]$ 中不可约，当且仅当它在 $\mathbb{Q}[x]$ 中也不可约。
Key Insight
多项式是代数的基本组成部分：代数中研究的绝大多数方程都涉及多项式，而这些对指数的限制正是区分多项式与有理式、根式表达式的关键。这一概念可以推广到多元多项式环 $F[x_1,\ldots,x_n]$，它是代数几何的核心研究对象，代数簇就是多项式理想的零点集，将代数与几何直接联系起来。