Polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica formada por variables y coeficientes combinados mediante suma, resta y multiplicación, con exponentes enteros no negativos.
Formula
a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0
Definition
Un polinomio es una expresión construida sumando o restando términos que cada uno tiene una variable elevada a un exponente de número entero; en una variable $x$, tiene la forma general $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0$, donde los $a_i$ son coeficientes reales, los exponentes son enteros no negativos, y el grado es el mayor exponente presente. Los polinomios no pueden tener exponentes negativos, exponentes fraccionarios, o variables en un denominador, y son cerrados bajo la suma, la resta y la multiplicación. Formalmente, el conjunto de polinomios sobre un cuerpo $F$ en la variable $x$, denotado $F[x]$, forma un anillo conmutativo (de hecho, un dominio de ideales principales); según el Teorema Fundamental del Álgebra, todo polinomio de grado $n$ sobre los números complejos tiene exactamente $n$ raíces (contando multiplicidad), y los anillos de polinomios son el entorno algebraico de la teoría de Galois, que clasifica qué ecuaciones polinómicas se pueden resolver por radicales.
Example
$3x^2 + 5x - 2$ es un polinomio con tres términos, y $x^4 - 7$ es otro, ambos usando solo exponentes de número entero ($0, 1, 2, 3, \ldots$). $4x^3 - 2x^2 + x - 9$ es un polinomio de grado $3$, y sumar $(2x^2 + 3)$ a $(4x^2 - x)$ da $6x^2 - x + 3$, que sigue siendo un polinomio. $\mathbb{Z}[x]$ (polinomios con coeficientes enteros) es un dominio de factorización única pero no un cuerpo; el Lema de Gauss establece que un polinomio primitivo en $\mathbb{Z}[x]$ es irreducible en $\mathbb{Z}[x]$ si y solo si es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$.
Key Insight
Los polinomios son los bloques de construcción del álgebra: la mayoría de las ecuaciones estudiadas en álgebra los involucran, y estas restricciones sobre los exponentes son exactamente lo que separa a un polinomio de una expresión racional o radical. La idea se generaliza a los anillos de polinomios multivariados $F[x_1,\ldots,x_n]$, los objetos centrales de la geometría algebraica, donde las variedades son conjuntos de ceros de ideales polinómicos, conectando el álgebra directamente con la geometría.