多边形
duō biān xíng
多边形是由三条或更多条直边和角构成的封闭平面图形，其内角和等于 (n-2) * 180 度。
Formula
\text{Interior angle sum} = (n-2) \times 180^\circ
Definition
多边形是完全由直边构成的平面封闭图形，至少有三条边；三角形、正方形、五边形和六边形都是多边形，而圆形和曲线图形则不是。严格来说，简单多边形是一条不自相交的封闭折线，由三条或更多条线段仅在端点相接而成；$n$ 边形的内角和为 $(n-2)\times180^\circ$($(n-2)\pi$ 弧度)，可通过三角剖分证明，任何凸简单多边形的外角和总是 $360^\circ$($2\pi$)。
Example
停车让行标志是八边形($8$ 条边)，让行标志是三角形($3$ 条边)，足球表面的图案块是六边形($6$ 条边)。六边形的内角和为 $(6-2)\times180=720^\circ$，正六边形每个内角为 $120^\circ$；十边形内角和为 $(10-2)\times180=1440^\circ$，正十边形每个角为 $144^\circ$。由皮克定理，对于格点多边形，面积 $=I+B/2-1$：有 $6$ 个内部格点和 $8$ 个边界格点，面积 $=6+4-1=9$；单位正方形($I=0$，$B=4$)得到面积 $0+2-1=1$。
Key Insight
"多边形"(polygon)一词源自希腊语，"poly"(多)和 "gon"(角)，多边形的角数恰好等于边数。$(n-2)\times180^\circ$ 公式来自从一个顶点作对角线将任意多边形分割成 $(n-2)$ 个三角形，这种三角剖分技术被用于计算机图形学、有限元分析、三维渲染、网格生成和地理信息系统，因为任何简单多边形都能以这种方式在 $O(n\log n)$ 时间内完成三角剖分。