点
diǎn
点是空间中一个精确的位置，没有大小、长度、宽度或深度，用一个圆点表示，并以大写字母命名。
Definition
点是空间中一个精确的位置，没有任何大小，没有长度、宽度或深度。我们把它画成一个小圆点，并用大写字母命名，比如点 $A$。作为几何学中的一个基本(未定义)概念，点被用来定义其他所有图形：直线、形状和立体图形都是由点构成的。在解析几何中，$\mathbb{R}^n$ 中的一个点是一个有序的 $n$ 元实数组，而在拓扑学中，点只是定义了拓扑结构的集合中的一个元素。
Example
削尖的铅笔笔尖，或者地图上标记你所在城市的圆点，都接近于一个点：它表示一个精确的位置，但没有实际的大小。点 $A$ 和点 $B$ 是平面上两个不同的位置；一条直线穿过这两点，一条线段连接它们，坐标如 $(3, 5)$ 就是在坐标平面上命名一个点。在 $\mathbb{R}^2$ 中，点 $P = (x, y)$ 确定一个唯一的位置，而与一个定点距离相等的所有点组成的集合定义了一个圆。
Key Insight
几何学中的一切都从点开始，这使点成为这门学科最基本的构成要素。点被称为"未定义概念"，因为它太基本了，无法用更简单的概念来定义，我们凭直觉接受点是什么，并在此基础上建立其他所有定义。欧几里得曾尝试定义点("没有部分的东西")，但这个定义是循环论证的，因此现代公理系统(希尔伯特、塔斯基)转而把点当作满足既定公理的原始对象，从而避免了这种循环论证。