Punto
Un punto es una ubicación exacta en el espacio sin tamaño, longitud, ancho ni profundidad; se representa con un puntito y se nombra con una letra mayúscula.
Definition
Un punto es una ubicación exacta en el espacio sin ningún tamaño, sin longitud, ancho ni profundidad. Lo dibujamos como un puntito y lo nombramos con una letra mayúscula, como el punto $A$. Como término fundamental (indefinido) de la geometría, un punto se usa para definir cualquier otra figura: las líneas, las figuras y los sólidos se construyen todos a partir de puntos. En geometría analítica, un punto en $\mathbb{R}^n$ es una $n$-tupla ordenada de números reales, y en topología es simplemente un elemento de un conjunto sobre el cual se define una topología.
Example
La punta de un lápiz afilado, o el punto que marca tu ciudad en un mapa, se acerca a lo que es un punto: muestra una ubicación exacta pero no tiene un tamaño real. Los puntos $A$ y $B$ son dos ubicaciones distintas en un plano; una línea pasa por ambos, y un segmento los conecta, con coordenadas como $(3, 5)$ que nombran un punto en el plano cartesiano. En $\mathbb{R}^2$, un punto $P = (x, y)$ identifica una ubicación única, y el conjunto de todos los puntos equidistantes de un punto fijo define un círculo.
Key Insight
Todo en geometría comienza con puntos, lo que los convierte en el bloque de construcción más básico de la materia. Los puntos se llaman "términos indefinidos" porque son demasiado básicos para definirse usando ideas más simples: aceptamos intuitivamente qué es un punto y construimos sobre esa base cualquier otra definición. El intento de definición de Euclides ("aquello que no tiene partes") es circular, así que los sistemas axiomáticos modernos (Hilbert, Tarski) tratan en cambio el punto como un objeto primitivo que satisface los axiomas planteados, evitando esa circularidad.