中心对称
zhōng xīn duì chèn
如果一个图形绕中心点旋转180度后与自身完全相同，那么它就具有中心对称。
Definition
如果把一个图形绕其中心恰好旋转半圈（$180$ 度）后看起来完全一样，那么这个图形具有中心对称，图形的每一部分都在中心正对面有一个匹配的部分。严格地说，如果绕中心 $C$ 旋转 $180$ 度能把图形映射到自身，那么这个图形关于中心 $C$ 具有中心对称，等价地说，对图形上的每一点 $P$，点 $P' = 2C - P$ 也在图形上；中心对称正是阶为 $2$ 的旋转对称。在更高维度中，与之类似的概念是中心对称性：如果对所有 $x \in F$ 都有 $-x + 2C \in F$，则称图形 $F$ 关于 $C$ 中心对称，这是凸几何和数论（闵可夫斯基定理）中研究的一个假设。
Example
矩形具有中心对称，旋转 $180$ 度后看起来一样，字母"S"、"Z"、"N"和"H"也都具有中心对称，正六边形和圆也是如此。平行四边形关于其对角线交点具有中心对称，每个顶点在 $180$ 度旋转下都映射到对面的顶点；非正方形的矩形具有中心对称，但只有 $2$ 条对称轴，不像正方形有 $4$ 条。闵可夫斯基定理指出，$\mathbb{R}^n$ 中每一个体积大于 $2^n$ 的中心对称凸体都包含一个非零格点，这是数的几何中的一个基本结果。
Key Insight
中心就像一个平衡支点：对图形上的每一点，穿过中心正对面、距离相等的那一点，也在这个图形上。奇数边正多边形（三角形、五边形）不具有中心对称，因为旋转 $180$ 度不会使它们与自身重合，而偶数边正多边形（正方形、六边形、八边形）则具有中心对称。中心对称是许多几何不等式和数论结果中的一个假设；两个中心对称集合的闵可夫斯基和仍是中心对称的，凸几何中许多极值问题（等周问题、马勒猜想）都涉及中心对称体，把点对称与数学中一些深刻的问题联系了起来。