点斜式
diǎn xié shì
点斜式是利用直线上一个已知点和斜率来写出线性方程的方法：y - y1 = m(x - x1)。
Formula
y - y_1 = m(x - x_1)
Definition
点斜式利用直线上一个已知点 $(x_1, y_1)$ 及其斜率 $m$ 来写出直线方程：$y - y_1 = m(x - x_1)$。它直接由斜率公式 $m = (y - y_1)/(x - x_1)$ 两边同乘得到，在已知两个点的情形下尤其实用：先求出 $m$，再代入这一形式即可。从几何上看，它用方向向量 $(1, m)$ 参数化了 $\mathbb{R}^2$ 中过一个定点的仿射直线，它也是微分学中切线近似 $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$ 的离散类比。
Example
一条斜率为 $3$、过点 $(2, 5)$ 的直线为 $y - 5 = 3(x - 2)$，化简后得到 $y = 3x - 1$。对于点 $(1, -2)$ 和 $(4, 4)$，斜率为 $m = (4-(-2))/(4-1) = 2$，所以 $y - (-2) = 2(x - 1)$ 化简为 $y = 2x - 4$。$f(x) = x^2$ 在 $x = 3$ 处的切线斜率为 $f'(3) = 6$，得到切线方程 $y - 9 = 6(x - 3)$，这正是以 $(3, 9)$ 和 $m = 6$ 写出的点斜式。
Key Insight
可以把它理解为"从这个已知点出发，直线始终按这个斜率延伸"：这正是"一条直线由一个点和一个方向唯一确定"这一事实的代数版本，给定的两个点中任意一个都会得到同样的化简方程。这恰恰是微积分中局部线性化的思想：每个可微函数在一点附近的样子都像它的切线，而切线总是写成点斜式。