Forma Punto-Pendiente
La forma punto-pendiente es una manera de escribir una ecuación lineal usando un punto conocido de la línea y la pendiente: y - y1 = m(x - x1).
Formula
y - y_1 = m(x - x_1)
Definition
La forma punto-pendiente escribe la ecuación de una línea usando un punto conocido $(x_1, y_1)$ sobre la línea y su pendiente $m$: $y - y_1 = m(x - x_1)$. Se deriva directamente de la fórmula de la pendiente $m = (y - y_1)/(x - x_1)$ multiplicada en ambos lados, y es especialmente útil cuando se dan dos puntos: primero se calcula $m$ y luego se aplica la forma. Geométricamente parametriza la línea afín que pasa por un punto fijo con vector direccional $(1, m)$ en $\mathbb{R}^2$, y es el análogo discreto de la aproximación por línea tangente $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$ usada en el cálculo diferencial.
Example
Una línea con pendiente $3$ que pasa por $(2, 5)$ da $y - 5 = 3(x - 2)$, que se simplifica a $y = 3x - 1$. Para los puntos $(1, -2)$ y $(4, 4)$, la pendiente es $m = (4-(-2))/(4-1) = 2$, así que $y - (-2) = 2(x - 1)$ se simplifica a $y = 2x - 4$. La tangente a $f(x) = x^2$ en $x = 3$ tiene pendiente $f'(3) = 6$, dando la línea tangente $y - 9 = 6(x - 3)$, que es la forma punto-pendiente con $(3, 9)$ y $m = 6$.
Key Insight
Piénsalo como diciendo "desde este punto conocido, la línea sigue con esta pendiente": es la versión algebraica del hecho de que una línea queda determinada de manera única por un punto y una dirección, y cualquiera de dos puntos dados produce la misma ecuación simplificada. Esta es exactamente la idea de linealización local del cálculo: toda función diferenciable se parece a su línea tangente cerca de un punto, y esa tangente siempre se escribe en forma punto-pendiente.