平面
píng miàn
平面是一个平坦的二维曲面，向所有方向无限延伸，没有厚度。
Formula
ax + by + cz = d \text{ (equation of a plane in 3D)}
Definition
平面是一个完全平坦、向所有方向无限延伸的曲面，有长度和宽度但完全没有厚度，就像一张无边无际、完全平坦的桌面。它由三个不共线的点唯一确定，或由一条直线和直线外一点确定，并用三个点命名(平面 $ABC$)或用一个大写字母表示。在 $\mathbb{R}^3$ 中，它是维数为 $2$ 的仿射子空间，可表示为 $\{P + su + tv : s, t \in \mathbb{R}\}$(其中 $P$ 为一点，$u, v$ 为两个线性无关的向量)，等价地也可表示为 $ax + by + cz = d$ 的解集，其中 $(a, b, c)$ 是法向量。
Example
一张纸就像一小块平面，教室的地板也代表一个平面，只不过真正的平面会向各个方向越过墙壁无限延伸。点 $A(0,0,0)$、$B(1,0,0)$、$C(0,1,0)$ 确定了三维空间中的 $xy$ 平面，任意两条相交直线恰好位于一个平面内，而平行平面永不相交。过点 $A, B, C$ 的平面法向量为 $n = (B - A) \times (C - A)$，方程为 $n \cdot (r - A) = 0$，点 $Q$ 到该平面的距离为 $|n \cdot (Q - A)| / |n|$。
Key Insight
平面是二维的，有两个移动方向，但没有上下的厚度，这正是它与立体三维物体的区别所在；两个不同的平面要么平行，要么恰好相交于一条直线，这一性质在建筑和工程中都有应用。在射影几何中，平面与点是对偶的，点与平面之间的对偶性，即关于点和直线的任何定理都有关于平面和直线的对偶定理，这是一种深刻的结构对称性，微分几何通过曲面上的切平面将其进一步推广。