Plano
Un plano es una superficie plana y bidimensional que se extiende infinitamente en todas direcciones, sin grosor.
Formula
ax + by + cz = d \text{ (equation of a plane in 3D)}
Definition
Un plano es una superficie perfectamente plana que se extiende para siempre en todas direcciones, con longitud y ancho pero sin ningún grosor, como una mesa infinita y perfectamente plana. Queda determinado de forma única por tres puntos no colineales, o por una recta y un punto que no esté en ella, y se nombra con tres puntos (plano $ABC$) o con una sola letra mayúscula. En $\mathbb{R}^3$ es un subespacio afín de dimensión $2$, expresado como $\{P + su + tv : s, t \in \mathbb{R}\}$ para un punto $P$ y dos vectores linealmente independientes $u, v$, o equivalentemente como el conjunto solución de $ax + by + cz = d$, donde $(a, b, c)$ es el vector normal.
Example
Una hoja de papel es como un pequeño trozo de un plano, y el piso de un salón de clases también representa uno, excepto que un verdadero plano se extendería más allá de las paredes para siempre en cada dirección. Los puntos $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$ y $C(0,1,0)$ determinan el plano $xy$ en el espacio 3D, y dos rectas que se intersecan cualesquiera están en exactamente un plano, mientras que los planos paralelos nunca se intersecan. El plano que pasa por los puntos $A, B, C$ tiene normal $n = (B - A) \times (C - A)$, ecuación $n \cdot (r - A) = 0$, y la distancia del punto $Q$ al plano es $|n \cdot (Q - A)| / |n|$.
Key Insight
Un plano es bidimensional, con dos direcciones para moverse pero sin grosor de arriba a abajo, que es lo que lo distingue de los objetos sólidos en 3D; dos planos distintos son paralelos o se intersecan en exactamente una recta, propiedad usada en arquitectura e ingeniería. En geometría proyectiva, un plano es dual a un punto, y la dualidad entre puntos y planos, donde cualquier teorema sobre puntos y rectas tiene un teorema dual sobre planos y rectas, es una simetría estructural profunda que la geometría diferencial extiende aún más a través de los planos tangentes en superficies curvas.