位值
wèi zhí
位值是一个数字因其在数中所处位置而具有的价值，如个位、十位、百位和千位。
Definition
位值是指一个数字因其在数中所处位置而具有的价值；同一个数字在不同位置可以表示不同的量。在十进制位值系统中，每个位置代表 $10$ 的一个幂：从右到左依次是个位（$10^0$）、十位（$10^1$）、百位（$10^2$）、千位（$10^3$），依此类推，因此一个数字的值等于 $\text{digit} \times 10^{\text{position}}$。更一般地，在 $b$ 进制中，位于第 $k$ 位（从右边的 $0$ 开始计数）的数字 $d$ 的值为 $d \cdot b^k$，任何正整数都可以通过反复应用带余除法唯一地这样表示，这直接对应于多项式求值。
Example
在 $352$ 中，$3$ 在百位（表示 $300$），$5$ 在十位（表示 $50$），$2$ 在个位（表示 $2$）；$500$ 中的数字 $5$ 所表示的值是 $50$ 中的 $5$ 的十倍。在 $4{,}709$ 中：$4$ 在千位（$4{,}000$），$7$ 在百位（$700$），$0$ 不贡献任何值，$9$ 在个位。霍纳算法正是利用了这种结构，将基数为 $10$ 的数码 $d_n \ldots d_1 d_0$ 求值为 $(\ldots((d_n \cdot 10 + d_{n-1}) \cdot 10 + d_{n-2})\ldots) \cdot 10 + d_0$，把计算量减少到只需 $n$ 次乘法。
Key Insight
位置决定一切：位值使得进位加法、长除法等运算法则得以成立，也解释了为什么小数点每移动一位就相当于乘以或除以 $10$。这一概念还可以延伸到负数位置和小数位置：位于第 $-k$ 位的数字 $d$ 贡献 $d \cdot b^{-k}$，从而产生十进制（或二进制）小数，计算机中的浮点运算正是完全建立在这一延伸之上。