Valor Posicional
El valor posicional es el valor de un dígito según su posición dentro de un número, como las unidades, las decenas, las centenas, y los millares.
Definition
El valor posicional es el valor que tiene un dígito debido al lugar que ocupa en un número; el mismo dígito puede significar cantidades distintas según su posición. En el sistema posicional de base $10$, cada posición representa una potencia de $10$: de derecha a izquierda, unidades ($10^0$), decenas ($10^1$), centenas ($10^2$), millares ($10^3$), y así sucesivamente, de modo que el valor de un dígito es igual a $\text{digit} \times 10^{\text{position}}$. En base $b$ en general, un dígito $d$ en la posición $k$ (contando desde $0$ a la derecha) tiene el valor $d \cdot b^k$, y todo entero positivo puede escribirse de esta forma de manera única aplicando repetidamente el algoritmo de la división, correspondiendo directamente a la evaluación de un polinomio.
Example
En $352$, el $3$ está en el lugar de las centenas (vale $300$), el $5$ está en el lugar de las decenas (vale $50$), y el $2$ está en el lugar de las unidades (vale $2$); el dígito $5$ en $500$ vale diez veces más que el $5$ en $50$. En $4{,}709$: el $4$ está en el lugar de los millares ($4{,}000$), el $7$ está en el lugar de las centenas ($700$), el $0$ no aporta nada, y el $9$ está en el lugar de las unidades. El método de Horner explota esta estructura, evaluando un numeral en base $10$, $d_n \ldots d_1 d_0$, como $(\ldots((d_n \cdot 10 + d_{n-1}) \cdot 10 + d_{n-2})\ldots) \cdot 10 + d_0$, reduciendo el trabajo a solo $n$ multiplicaciones.
Key Insight
La posición lo es todo: el valor posicional hace que funcionen los algoritmos aritméticos como la suma con reagrupación y la división larga, y explica por qué desplazar el punto decimal un lugar multiplica o divide entre $10$. El concepto se extiende también a posiciones negativas y fraccionarias: un dígito $d$ en la posición $-k$ aporta $d \cdot b^{-k}$, dando fracciones decimales (o binarias), y la aritmética de coma flotante en computación se construye enteramente sobre esta extensión.