圆周率
yuán zhōu lǜ
圆周率是任意圆的周长与直径之比这一数学常数，约等于3.14159。
Formula
\pi = \frac{C}{d} = 3.14159\ldots
Definition
圆周率（写作希腊字母 $\pi$）是任意圆的周长与直径之比，$\pi = C/d$，约等于 $3.14159265358979$。π 是无理数（其小数展开永不循环，也无法写成两个整数之比），并且是超越数（不是任何有理系数多项式的根，林德曼于1882年证明了这一点），这蕴含着用尺规无法实现化圆为方。等价地说，$\pi$ 是满足 $\sin(\pi) = 0$ 的唯一正实数，或者说是欧拉恒等式 $e^{i\pi} = -1$ 中复指数函数的半周期。
Example
测量任意圆的周长再除以直径，结果总是约为 $3.14159$；直径为 $1$ cm 的圆，周长恰好是 $\pi$ cm。阿基米德通过在圆的内外分别内接和外切正多边形来逼近 $\pi$；用一个 $96$ 边形，他证明了 $3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}$，即 $3.1408 < \pi < 3.1429$。莱布尼茨公式 $\pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + \ldots$ 收敛很慢，而拉马努金级数 $1/\pi = (2\sqrt{2}/9801) \sum (4k)!(1103+26390k) / ((k!)^4 396^{4k})$ 的收敛速度快得多。
Key Insight
人们已经计算出 $\pi$ 的数万亿位小数，但对于日常计算而言，$3.14$ 或 $22/7$ 就已经足够。π 出现在数学的许多远超圆的领域，包括高斯积分（$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$）、巴塞尔问题（$\sum 1/n^2 = \pi^2/6$）以及许多概率分布中。欧拉恒等式 $e^{i\pi} + 1 = 0$ 把数学中五个最基本的常数联系在一起，而 $\pi$ 的超越性意味着圆的面积与正方形面积之比不可能是一个简单的代数数，这是几何作图的一个深刻限制。