Pi
Pi es la constante matemática igual a la razón entre la circunferencia de cualquier círculo y su diámetro, aproximadamente 3.14159.
Formula
\pi = \frac{C}{d} = 3.14159\ldots
Definition
Pi (escrito con la letra griega $\pi$) es la razón entre la circunferencia de cualquier círculo y su diámetro, $\pi = C/d$, aproximadamente $3.14159265358979$. Pi es irracional (su decimal nunca se repite y no puede escribirse como una fracción de enteros) y trascendente (no es raíz de ningún polinomio con coeficientes racionales, como demostró Lindemann en 1882), lo cual implica la imposibilidad de cuadrar el círculo con regla y compás. De manera equivalente, $\pi$ es el único número real positivo que satisface $\sin(\pi) = 0$, o el semiperiodo de la exponencial compleja en la identidad de Euler $e^{i\pi} = -1$.
Example
Mide la circunferencia de cualquier círculo y divídela entre su diámetro, y siempre obtendrás aproximadamente $3.14159$; un círculo con diámetro $1$ cm tiene circunferencia exactamente $\pi$ cm. Arquímedes aproximó $\pi$ inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares alrededor de un círculo; con un polígono de $96$ lados demostró que $3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}$, dando $3.1408 < \pi < 3.1429$. La fórmula de Leibniz $\pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + \ldots$ converge lentamente, mientras que la serie de Ramanujan $1/\pi = (2\sqrt{2}/9801) \sum (4k)!(1103+26390k) / ((k!)^4 396^{4k})$ converge mucho más rápido.
Key Insight
Se han calculado billones de cifras decimales de $\pi$, pero $3.14$ o $22/7$ es suficiente para la mayoría de los cálculos cotidianos. Pi aparece en todas las matemáticas mucho más allá de los círculos, en la integral gaussiana ($\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$), en el problema de Basilea ($\sum 1/n^2 = \pi^2/6$), y en muchas distribuciones de probabilidad. La identidad de Euler $e^{i\pi} + 1 = 0$ conecta las cinco constantes más fundamentales de las matemáticas, y la trascendencia de $\pi$ significa que la razón entre el área de un círculo y la de un cuadrado no puede ser un número algebraico simple, una profunda limitación en las construcciones geométricas.