垂直平分线
chuí zhí píng fēn xiàn
垂直平分线是在线段中点处以直角穿过该线段的直线，线上每一点到线段两端点的距离都相等。
Formula
\text{Any point } P \text{ on bisector: } PA = PB \text{ (equidistant from endpoints)}
Definition
垂直平分线是在一条线段的正中点以直角穿过该线段的一条直线，它既平分线段，又垂直于线段。垂直平分线定理指出，一个点位于线段的垂直平分线上，当且仅当它到两个端点的距离相等；严格来说，线段 $AB$ 的垂直平分线是集合 $\{P \in \mathbb{R}^2 : |PA| = |PB|\}$，化简后得到线性方程 $2(B-A)\cdot P = |B|^2 - |A|^2$，即过中点 $(A+B)/2$ 且与 $(B-A)$ 垂直的超平面。
Example
如果线段 $AB$ 长 $10$ 厘米，它的垂直平分线在 $5$ 厘米处以直角穿过，线上任意一点到 $A$ 和 $B$ 的距离相等。对于从 $A(1,2)$ 到 $B(5,6)$：中点 $=(3,4)$，$AB$ 的斜率为 $1$，垂线斜率为 $-1$，得到垂直平分线 $y=-x+7$。对于 $A=(1,1)$，$B=(5,3)$：中点 $(3,2)$，方向 $(4,2)$，垂直平分线方程为 $4(x-3)+2(y-2)=0$，即 $2x+y=8$。
Key Insight
这一等距性质被用来求经过两点的圆的圆心，三角形三边的垂直平分线共点于外心，外心到三个顶点距离相等(锐角三角形在三角形内部，钝角三角形在外部，直角三角形则在斜边中点处)。垂直平分线还能生成沃罗诺伊图：若干点中每一点的沃罗诺伊区域是由该点与其他所有点的垂直平分线所定义的半平面的交集，这一构造被用于计算几何、空间统计以及模拟自然界的细胞图案。