Mediatriz
Una mediatriz es una recta que cruza un segmento en su punto medio formando un ángulo recto, y cada punto sobre ella es equidistante de los extremos del segmento.
Formula
\text{Any point } P \text{ on bisector: } PA = PB \text{ (equidistant from endpoints)}
Definition
Una mediatriz es una recta que cruza un segmento exactamente en su punto medio en un ángulo recto, bisecando el segmento y siendo perpendicular a él a la vez. El Teorema de la Mediatriz establece que un punto está en la mediatriz de un segmento si y solo si es equidistante de los dos extremos; formalmente, la mediatriz del segmento $AB$ es el conjunto $\{P \in \mathbb{R}^2 : |PA| = |PB|\}$, que se simplifica a la ecuación lineal $2(B-A)\cdot P = |B|^2 - |A|^2$, el hiperplano perpendicular a $(B-A)$ que pasa por el punto medio $(A+B)/2$.
Example
Si el segmento $AB$ mide $10$ cm de longitud, su mediatriz lo cruza en la marca de $5$ cm en un ángulo recto, y cualquier punto sobre ella está igualmente lejos de $A$ y de $B$. Para $A(1,2)$ a $B(5,6)$: punto medio $=(3,4)$, pendiente de $AB=1$, pendiente perpendicular $=-1$, dando la mediatriz $y=-x+7$. Para $A=(1,1)$, $B=(5,3)$: punto medio $(3,2)$, dirección $(4,2)$, ecuación de la mediatriz $4(x-3)+2(y-2)=0$, o $2x+y=8$.
Key Insight
Esta propiedad de equidistancia se usa para hallar el centro de un círculo que pasa por dos puntos, y las tres mediatrices de los lados de un triángulo son concurrentes en el circuncentro, equidistante de los tres vértices (dentro para triángulos acutángulos, fuera para obtusángulos, en el punto medio de la hipotenusa para triángulos rectángulos). Las mediatrices también generan diagramas de Voronói: la región de Voronói de cada uno de varios puntos es la intersección de semiplanos definidos por las mediatrices con todos los demás puntos, una construcción usada en geometría computacional, estadística espacial, y en el modelado de patrones celulares naturales.