周期函数
zhōu qī hán shù
周期函数是按固定间隔（称为周期）重复其值的函数。
Formula
f(x + T) = f(x) \text{ for all } x, \text{ where } T \text{ is the period}
Definition
周期函数是指其图像一遍又一遍地按规律重复的函数；经过一段称为周期的距离后，它看起来与之前完全一样。严格来说，如果对定义域内所有 $x$ 都有 $f(x + T) = f(x)$，则称 $f$ 以 $T$ 为周期，基本周期是满足此式的最小正数 $T$；sin 和 cos 的基本周期为 $2\pi$，而 tan 和 cot 的基本周期为 $\pi$。如果 $f$ 是以 $T$ 为周期的可积函数，其傅里叶级数为 $f(x) = \sum c_n e^{2\pi inx/T}$，其中 $c_n = (1/T)\int_0^T f(x)e^{-2\pi inx/T}\, dx$，在满足狄利克雷条件的连续点处逐点收敛。
Example
正弦函数是以 $2\pi$ 为周期的周期函数；四季以 $1$ 年为周期重复，钟表的指针以 $12$ 小时为周期。对于 $f(x) = \sin(2x) + \cos(3x)$：$\sin(2x)$ 的周期为 $\pi$，$\cos(3x)$ 的周期为 $2\pi/3$，所以合成的周期是它们的最小公倍数 $2\pi$。$(-\pi, \pi)$ 上的锯齿波 $f(x) = x/\pi$（周期性延拓）的傅里叶级数为 $2\sum (-1)^{n+1}\sin(nx)/n$，除了间断点外都收敛于 $f(x)$，在间断点处收敛于中点（吉布斯现象）。
Key Insight
周期函数是大自然反复出现的模式：昼夜、心跳、钟摆摆动和音符都是周期性的，几个周期函数之和的周期是各自周期的最小公倍数，不过如果两个周期之比是无理数，那么它们的和根本就不是周期函数（例如 $\sin(x) + \sin(\sqrt{2}x)$）。每个可积的周期函数都可以被唯一地分解为傅里叶分量，这是从 MP3 音频压缩到量子力学周期性能量本征态背后的数学基础。