Función Periódica
Una función periódica es una función que repite sus valores a intervalos regulares, llamados el periodo.
Formula
f(x + T) = f(x) \text{ for all } x, \text{ where } T \text{ is the period}
Definition
Una función periódica es aquella cuya gráfica se repite una y otra vez en un patrón regular; después de una distancia llamada periodo, se ve exactamente igual que antes. Formalmente, $f$ es periódica con periodo $T$ si $f(x + T) = f(x)$ para todo $x$ en el dominio, y el periodo fundamental es el menor $T$ positivo con esta propiedad; sin y cos tienen periodo fundamental $2\pi$, mientras que tan y cot tienen periodo fundamental $\pi$. Si $f$ es integrable y periódica con periodo $T$, su serie de Fourier es $f(x) = \sum c_n e^{2\pi inx/T}$ con $c_n = (1/T)\int_0^T f(x)e^{-2\pi inx/T}\, dx$, convergiendo puntualmente en los puntos de continuidad bajo las condiciones de Dirichlet.
Example
La función seno es periódica con periodo $2\pi$; las estaciones se repiten con periodo de $1$ año, y la manecilla de un reloj con periodo de $12$ horas. Para $f(x) = \sin(2x) + \cos(3x)$: $\sin(2x)$ tiene periodo $\pi$ y $\cos(3x)$ tiene periodo $2\pi/3$, así que el periodo combinado es su mínimo común múltiplo, $2\pi$. La onda diente de sierra $f(x) = x/\pi$ en $(-\pi, \pi)$, extendida periódicamente, tiene serie de Fourier $2\sum (-1)^{n+1}\sin(nx)/n$, que converge a $f(x)$ excepto en las discontinuidades, donde converge al punto medio (el fenómeno de Gibbs).
Key Insight
Las funciones periódicas son los patrones repetitivos de la naturaleza: el día y la noche, los latidos del corazón, las oscilaciones de un péndulo y las notas musicales son todos periódicos, y el periodo de una suma de funciones periódicas es el mínimo común múltiplo de los periodos individuales, aunque si la razón entre dos periodos es irracional, la suma no es periódica en absoluto (por ejemplo, $\sin(x) + \sin(\sqrt{2}x)$). Cada función periódica integrable puede descomponerse de manera única en sus componentes de Fourier, la base matemática de todo, desde la compresión de audio MP3 hasta los estados propios de energía periódicos de la mecánica cuántica.