周期（三角函数）
zhōu qī (sān jiǎo hán shù)
三角函数的周期是图像完成一个完整循环所需的长度。
Formula
\text{period} = \frac{2\pi}{|B|} \text{ for } y = A\sin(Bx + C) + D
Definition
正弦或余弦图像的周期，是波完成一个完整的上升-下降-上升过程并重复所需的长度。严格来说，周期函数对所有 $x$ 都满足 $f(x + T) = f(x)$，基本周期是满足此式的最小正数 $T$；对于 $y = A\sin(Bx + C) + D$，周期 $= 2\pi/|B|$（正切则为 $\pi/|B|$），所以较大的 $B$ 会把图像水平压缩成更短、更快的周期，而较小的 $B$ 则会拉伸周期。在傅里叶分析中，基本周期为 $T$ 的函数，其傅里叶级数的频率为 $n/T$，即基频 $1/T$ 的各次谐波。
Example
基本函数 $y = \sin(x)$ 的周期是 $2\pi \approx 6.28$（即 $360^\circ$），而 $y = \sin(3x)$ 的周期是 $2\pi/3 \approx 2.09$，在 $\sin(x)$ 完成 $1$ 个周期的空间内完成 $3$ 个周期。有趣的是，$\sin^2(x)$ 的基本周期是 $\pi$，而不是 $2\pi$，因为 $\sin^2(x) = (1 - \cos(2x))/2$，其周期为 $\pi$，这种缩减是因为平方消除了正、负半周之间的符号区别。
Key Insight
可以把周期想象成一首循环播放的歌：一个周期之后，波形看起来和开始时完全一样，并永远重复下去；周期与频率互为倒数，所以短周期意味着高频率，长周期意味着低频率（$440$ Hz 的 A4 音周期为 $1/440$ 秒）。用 $Bx$ 替换 $x$，会把定义域按因子 $B$ 压缩，把标准周期 $2\pi$ 映射为 $2\pi/B$，这与傅里叶变换中把时间变换为频率的缩放相同，这使周期/频率的对偶关系成为调和分析的基础。