Periodo (Trig)
El periodo de una función trigonométrica es la longitud de un ciclo completo de la gráfica.
Formula
\text{period} = \frac{2\pi}{|B|} \text{ for } y = A\sin(Bx + C) + D
Definition
El periodo de una gráfica de seno o coseno es cuánto tarda la onda en completar un patrón completo de subida-bajada-subida y repetirse. Formalmente, una función periódica satisface $f(x + T) = f(x)$ para todo $x$, y el periodo fundamental es el menor $T > 0$ que cumple esto; para $y = A\sin(Bx + C) + D$, el periodo $= 2\pi/|B|$ (o $\pi/|B|$ para la tangente), así que un $B$ mayor comprime la gráfica horizontalmente en un periodo más corto y rápido, mientras que un $B$ menor la estira. En el análisis de Fourier, una función con periodo fundamental $T$ tiene una serie de Fourier con frecuencias $n/T$, armónicos de la frecuencia fundamental $1/T$.
Example
El $y = \sin(x)$ básico tiene periodo $2\pi \approx 6.28$ (o $360^\circ$), mientras que $y = \sin(3x)$ tiene periodo $2\pi/3 \approx 2.09$, completando $3$ ciclos en el espacio que $\sin(x)$ toma para $1$. Curiosamente, $\sin^2(x)$ tiene periodo fundamental $\pi$, no $2\pi$, porque $\sin^2(x) = (1 - \cos(2x))/2$, que tiene periodo $\pi$, una reducción que surge porque elevar al cuadrado elimina la distinción de signo entre los semiciclos positivo y negativo.
Key Insight
Piensa en un periodo como una canción que se repite: después de un periodo, la onda se ve exactamente igual que donde empezó, y se repite para siempre; periodo y frecuencia son recíprocos, así que un periodo corto significa alta frecuencia y un periodo largo significa baja frecuencia (la nota musical La4 a $440$ Hz tiene un periodo de $1/440$ de segundo). Reemplazar $x$ por $Bx$ comprime el dominio por un factor $B$, mapeando el periodo estándar $2\pi$ a $2\pi/B$, el mismo escalado que transforma el tiempo en frecuencia en la transformada de Fourier, haciendo la dualidad periodo/frecuencia fundamental para el análisis armónico.