周长
zhōu cháng
周长是平面图形外部一整圈的总长度，把各边长度相加即可求得。
Formula
P = \text{sum of all side lengths}
Definition
周长是围绕一个平面图形外部一整圈的距离：把每一条边的长度加起来即可。对于多边形，周长就是所有边长之和，因此矩形的周长是 $P = 2(l + w)$，边长为 $s$ 的正n边形的周长是 $P = ns$。这个概念也可以推广到曲线边界：对于 $[a, b]$ 上的光滑曲线 $r(t) = (x(t), y(t))$，弧长（周长的类比）为 $$L = \int_a^b \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2} \, dt,$$ 对多边形而言，它化简为相邻顶点之间欧几里得距离之和。
Example
一个长 $5$ cm、宽 $3$ cm 的矩形，周长为 $5 + 3 + 5 + 3 = 16$ cm，就像围住一个院子所需的栅栏长度。边长为 $7$ in 的等边三角形，周长 $P = 3 \times 7 = 21$ in；边长为 $4$ m 的正六边形，周长 $P = 6 \times 4 = 24$ m；不规则多边形则必须分别测量每一条边。等周不等式说明了圆为什么特殊：在周长固定为 $L$ 的所有封闭曲线中，圆所围成的面积 $A$ 最大，满足 $L^2 \ge 4\pi A$，等号仅在圆的情形下成立。
Key Insight
"周长"（perimeter）一词源自希腊语："peri" 意为围绕，"metron" 意为测量，所以周长测量的始终是长度，而不是面积，答案的单位是 cm 或 feet 这样的长度单位，而不是平方单位。周长与面积彼此独立：两个矩形可以有相同的周长却围出截然不同的面积，例如 $1 \times 9$ 的矩形和 $3 \times 7$ 的矩形周长都是 $20$，但面积分别是 $9$ 和 $21$。由魏尔斯特拉斯严格证明的等周问题表明，在给定所围面积的情况下，自然界更偏爱圆形边界以使边界最短，这就是肥皂泡呈球形的原因。