Perímetro
El perímetro es la distancia total alrededor del contorno de una figura bidimensional, que se halla sumando las longitudes de todos sus lados.
Formula
P = \text{sum of all side lengths}
Definition
El perímetro es la distancia total alrededor del contorno de una figura plana: se suman las longitudes de todos los lados. Para un polígono esto es simplemente la suma de las longitudes de todos sus lados, por lo que un rectángulo tiene $P = 2(l + w)$ y un n-ágono regular con longitud de lado $s$ tiene $P = ns$. La idea se extiende también a contornos curvos: para una curva suave $r(t) = (x(t), y(t))$ en $[a, b]$, la longitud de arco (el análogo del perímetro) es $$L = \int_a^b \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2} \, dt,$$ que se reduce a la suma de las distancias euclidianas entre vértices consecutivos en el caso de los polígonos.
Example
Un rectángulo que mide $5$ cm de largo y $3$ cm de ancho tiene un perímetro de $5 + 3 + 5 + 3 = 16$ cm, como la longitud de cerca necesaria para rodear un patio. Un triángulo equilátero con lado de $7$ in tiene $P = 3 \times 7 = 21$ in, y un hexágono regular con lado $4$ m tiene $P = 6 \times 4 = 24$ m; los polígonos irregulares requieren medir cada lado por separado. La desigualdad isoperimétrica muestra por qué los círculos son especiales: entre todas las curvas cerradas de perímetro fijo $L$, el círculo encierra el área máxima $A$, con $L^2 \ge 4\pi A$, cumpliéndose la igualdad solo para círculos.
Key Insight
La palabra "perímetro" viene del griego: "peri" significa alrededor y "metron" significa medida, por lo que el perímetro siempre mide longitud, nunca área, dando una respuesta en unidades como cm o pies en lugar de unidades cuadradas. El perímetro y el área son independientes entre sí: dos rectángulos pueden compartir el mismo perímetro pero tener áreas muy diferentes, por ejemplo un rectángulo de $1 \times 9$ y uno de $3 \times 7$ tienen ambos perímetro $20$ pero áreas de $9$ y $21$. El problema isoperimétrico, resuelto rigurosamente por Weierstrass, muestra que la naturaleza favorece las formas circulares al minimizar el contorno para un área encerrada dada, razón por la cual las burbujas de jabón son esféricas.