完全平方数
wán quán píng fāng shù
完全平方数是某个整数与自身相乘所得到的整数。
Formula
n^2 = n \times n
Definition
完全平方数是把一个整数与自身相乘所得到的数，可以排列成一个点阵正方形。形式上，它是形如 $n^2$（$n$ 为非负整数）的整数；它的平方根总是整数，完全平方数的因数总个数是奇数，因为中间的因数 $\sqrt{n}$ 与自己配对。整数 $n \ge 0$ 是完全平方数，当且仅当它的质因数分解 $n = p_1^{a_1} \cdots p_k^{a_k}$ 中每个指数都是偶数，等价地说，即 $n$ 是每个质数的二次剩余；费马关于两平方和的定理指出，质数 $p$ 是两个平方数之和（$p = a^2+b^2$）当且仅当 $p=2$ 或 $p \equiv 1 \pmod 4$。
Example
$9$ 是完全平方数，因为 $3 \times 3 = 9$；其他例子还有 $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$。$225$ 是完全平方数吗？$15^2 = 225$，是的；$50$ 呢？$\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ 是无理数，所以不是。$36 = 2^2 \cdot 3^2$ 所有指数都是偶数（是完全平方数），而 $72 = 2^3 \cdot 3^2$ 中 $2$ 的指数是奇数，所以不是完全平方数，$\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$。
Key Insight
可以把完全平方数想象成方形点阵：$16$ 个点可以排成 $4\times4$ 的方阵，如果不能排成一个完全的正方形阵列，这个数就不是完全平方数。完全平方数的因数个数是奇数，因为它的平方根只被计算一次，而不是像其他因数那样成对出现。二次剩余理论，即哪些整数是模 $p$ 意义下的完全平方数，是数论的核心内容，用勒让德符号 $\left(\frac{n}{p}\right)$ 来表示，而二次互反律（高斯的"黄金定理"）则把不同质数下的这些符号联系在一起。