Cuadrado Perfecto
Un cuadrado perfecto es un entero que es el producto de un entero multiplicado por sí mismo.
Formula
n^2 = n \times n
Definition
Un cuadrado perfecto es un número que obtienes al multiplicar un número cabal por sí mismo, uno que se puede organizar como un cuadrado de puntos. Formalmente, es un entero de la forma $n^2$ para algún entero no negativo $n$; su raíz cuadrada siempre es un número cabal, y los cuadrados perfectos tienen una cantidad impar de factores totales, ya que el factor medio $\sqrt{n}$ se comparte con su propio par. Un entero $n \ge 0$ es un cuadrado perfecto si y solo si cada exponente en su factorización prima $n = p_1^{a_1} \cdots p_k^{a_k}$ es par, equivalentemente si $n$ es un residuo cuadrático módulo todo primo; el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados establece que un primo $p$ es suma de dos cuadrados ($p = a^2+b^2$) si y solo si $p=2$ o $p \equiv 1 \pmod 4$.
Example
$9$ es un cuadrado perfecto porque $3 \times 3 = 9$; otros incluyen $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$. ¿Es $225$ un cuadrado perfecto? $15^2 = 225$, sí; ¿y $50$? $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ es irracional, así que no. $36 = 2^2 \cdot 3^2$ tiene todos los exponentes pares (un cuadrado perfecto), mientras que $72 = 2^3 \cdot 3^2$ tiene un exponente impar en el $2$, así que no lo es, y $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.
Key Insight
Puedes visualizar los cuadrados perfectos como arreglos cuadrados: $16$ puntos pueden formar una cuadrícula de $4\times4$, y si no puedes formar un arreglo cuadrado perfecto, el número no es un cuadrado perfecto. Los cuadrados perfectos tienen una cantidad impar de factores porque su raíz cuadrada se cuenta una sola vez en lugar de como un par. La teoría de los residuos cuadráticos, cuáles enteros son cuadrados perfectos módulo $p$, es central en la teoría de números, codificada por el símbolo de Legendre $\left(\frac{n}{p}\right)$, y la reciprocidad cuadrática (el "teorema áureo" de Gauss) relaciona los símbolos de primos distintos.