百分位数
bǎi fēn wèi shù
百分位数表示低于该值的数据所占的百分比，用于把某个观测值放到整个数据集的背景中来衡量。
Definition
百分位数告诉你一个群体中有百分之几的人得分低于或等于某个特定值：如果你处于第 80 百分位，说明你的得分高于该群体中 80% 的人。第 $k$ 百分位数是使得 $k\%$ 的数据落在其下方的值；四分位数就是第 $25$、$50$、$75$ 百分位数，百分位数由排序后的数据通过插值计算得出，常用于报告标准化考试分数以及身高体重等医学测量值。形式上，第 $p$ 百分位数是第 $(100p)$ 分位数：即满足 $F(x) \ge p$ 的最小 $x$，对连续分布满足 $F(x_p) = p$；百分位排名在单调变换下保持等变，但在位置尺度变换下并非如此，因此它是一种与尺度无关的相对位置度量。
Example
在一次标准化考试中，处于第 $90$ 百分位意味着你的分数高于每 $100$ 名考生中的 $90$ 人；第 $50$ 百分位就是中位数。一个孩子的身高处于第 $65$ 百分位，意味着同龄儿童中有 $65\%$ 比他矮，$35\%$ 比他高。百分位归一化（概率积分变换）将任意连续随机变量 $X$ 映射为 $U = F(X) \sim \text{Uniform}(0,1)$，这是多元分布连接函数（copula）模型的基础，而分位数回归（Koenker 和 Bassett，1978 年）估计响应变量的条件分位数，而非条件均值。
Key Insight
百分位数用于标准化考试、生长曲线图和排名，用来展示你与其他人相比处于什么位置，传达了原始分数无法表达的相对地位：$100$ 分里得 $85$ 分，如果不知道大多数人得了多少分，这个信息意义有限。分位数回归比普通最小二乘法更稳健，能完整展示预测变量如何影响整个分布，而不仅仅是均值。