Percentil
Un percentil indica el valor por debajo del cual cae un porcentaje dado de los datos, ubicando una observación en el contexto de todo el conjunto de datos.
Definition
Un percentil indica qué porcentaje de un grupo obtuvo una puntuación igual o menor a cierto valor: si estás en el percentil 80, obtuviste una puntuación mayor que el 80% del grupo. El percentil $k$-ésimo es el valor por debajo del cual cae $k\%$ de los datos; los cuartiles son los percentiles $25$, $50$, y $75$, y los percentiles se calculan a partir de datos ordenados usando interpolación, usándose comúnmente para reportar puntajes de exámenes estandarizados y mediciones médicas como la estatura y el peso. Formalmente, el percentil $p$-ésimo es el cuantil $(100p)$-ésimo: el menor $x$ tal que $F(x) \ge p$, satisfaciendo $F(x_p) = p$ para distribuciones continuas; los rangos percentiles son equivariantes bajo transformaciones monótonas pero no bajo cambios de ubicación-escala, haciéndolos medidas de posición relativa libres de escala.
Example
En un examen estandarizado, obtener una puntuación en el percentil $90$ significa que obtuviste una puntuación mayor que $90$ de cada $100$ personas que presentaron el examen; el percentil $50$ es la mediana. La estatura de un niño en el percentil $65$ significa que $65\%$ de los niños de la misma edad son más bajos y $35\%$ son más altos. La normalización por percentiles (la transformada integral de probabilidad) asigna cualquier variable aleatoria continua $X$ a $U = F(X) \sim \text{Uniform}(0,1)$, la base de los modelos de cópulas para distribuciones multivariadas, y la regresión cuantílica (Koenker y Bassett, 1978) estima los cuantiles condicionales de la respuesta en lugar de la media condicional.
Key Insight
Los percentiles se usan en exámenes estandarizados, gráficas de crecimiento, y clasificaciones para mostrar dónde te encuentras en comparación con los demás, transmitiendo la posición relativa de una forma que las puntuaciones crudas no pueden: una puntuación de $85$ de $100$ significa menos sin saber dónde se ubicó la mayoría de la gente. La regresión cuantílica es más robusta que los MCO (OLS) y da una imagen completa de cómo los predictores afectan toda la distribución, no solo el promedio.