百分比
bǎi fēn bǐ
百分比是以每百份中的比率表示的具体数量或份额，常用于描述某部分占整体的多少。
Formula
\text{percentage} = \left(\frac{\text{part}}{\text{whole}}\right) \times 100\%
Definition
百分比是以$100$份中的一部分来表示的数量：当你看到一个数字后面跟着$\%$，它告诉你在$100$个等份中你拥有多少份。百分比问题中的三个关键量是部分（$P$）、整体（$W$）和百分率（$R\%$），三者的关系为$P = R/100 \times W$，因此只要知道其中两个量，就可以求出第三个。形式上，百分比是比率的一种线性变换，$f(r) = 100r$，把$[0,1]$中的$r$映射到$[0\%,100\%]$（或超出这个范围，如果比率大于$1$）；百分点与百分变化是不同的概念，从$10\%$升到$15\%$是$5$个百分点，但却是$50\%$的相对增长，这种区别在金融和公共报道中经常被混淆。
Example
如果$50$名学生中有$15$名养宠物，百分比是$15/50 = 30/100 = 30\%$。$80$的$35\%$是多少？$P = 35/100 \times 80 = 28$；如果一个数的$40\%$是$26$，这个数就是$26/0.40 = 65$。如果一笔投资从$\$1000$增长到$\$1200$，百分比增长是$(200/1000) \times 100 = 20\%$，但如果利率从$3\%$升到$4\%$，那只是$1$个百分点的增长，尽管利率本身的相对增长是$33.3\%$。
Key Insight
"百分数"（percent）与"百分比"（percentage）之间的区别很微妙：百分数指的是符号或比率本身（"$30$百分数"），而百分比指的是所得的量（"学生的百分比是$30\%$"），尽管在实际使用中两者常被互换使用。所有百分比问题都可以归结为同一个含三个变量的公式，识别你已知哪两个（以及要求解哪一个）就是全部的技巧，画出比例$P/W = R/100$会使问题变得直观且机械化。百分点与百分变化之间的区别是公共讨论中最容易被误用的概念之一：把某种疾病的发病率从$8\%$降到$4\%$，实现的是$4$个百分点的降低，但却是$50\%$的相对降低，两种说法都准确，但给人的量级印象却大不相同。