Porcentaje
Un porcentaje es una cantidad o porción específica expresada como una tasa por cada cien, usada a menudo para describir cuánto representa una parte del todo.
Formula
\text{percentage} = \left(\frac{\text{part}}{\text{whole}}\right) \times 100\%
Definition
Un porcentaje es una cantidad expresada como parte de $100$: cuando ves un número seguido de $\%$, te dice cuánto tienes de algo de cada $100$ partes iguales. Las tres cantidades clave en los problemas de porcentaje son Parte ($P$), Todo ($W$) y Tasa Porcentual ($R\%$), relacionadas por $P = R/100 \times W$, así que cualquiera de las cantidades puede hallarse una vez conocidas las otras dos. Formalmente, el porcentaje es una transformación lineal de una razón, $f(r) = 100r$, que mapea $r$ en $[0,1]$ a $[0\%,100\%]$ (o más allá para tasas mayores que $1$); los puntos porcentuales difieren del cambio porcentual, un aumento de $10\%$ a $15\%$ es $5$ puntos porcentuales pero un aumento relativo del $50\%$, una distinción frecuentemente confundida en los reportes financieros y públicos.
Example
Si $15$ de $50$ estudiantes tienen una mascota, el porcentaje es $15/50 = 30/100 = 30\%$. ¿Cuánto es el $35\%$ de $80$? $P = 35/100 \times 80 = 28$; y si el $40\%$ de un número es $26$, el número es $26/0.40 = 65$. Si una inversión crece de $\$1000$ a $\$1200$, el aumento porcentual es $(200/1000) \times 100 = 20\%$, pero si una tasa de interés sube de $3\%$ a $4\%$, eso es solo un aumento de $1$ punto porcentual aunque sea un aumento relativo del $33.3\%$ en la tasa misma.
Key Insight
La diferencia entre "por ciento" y "porcentaje" es sutil: por ciento se refiere al símbolo o la tasa ("$30$ por ciento"), mientras que porcentaje se refiere a la cantidad resultante ("el porcentaje de estudiantes es $30\%$"), aunque en la práctica se usan a menudo indistintamente. Todos los problemas de porcentaje se reducen a la misma fórmula con tres variables, reconocer cuáles dos conoces (y cuál estás buscando) es toda la habilidad necesaria, y dibujar la proporción $P/W = R/100$ lo hace visual y mecánico. La distinción entre puntos porcentuales y cambio porcentual es uno de los conceptos más malinterpretados en el discurso público: una política que reduce una tasa de enfermedad del $8\%$ al $4\%$ logra una reducción de $4$ puntos porcentuales, pero una reducción relativa del $50\%$, ambas correctas pero dando impresiones muy distintas de la magnitud.