百分比增长
bǎi fēn bǐ zēng zhǎng
百分比增长衡量一个量相对于其原始值增长了多少，以百分数表示。
Formula
\text{percentage increase} = \left(\frac{\text{new} - \text{original}}{\text{original}}\right) \times 100\%
Definition
百分比增长告诉你某个量相比起始值增长了多少，以百分数表示：求出增长的数量，除以原始数量，再乘以$100$。形式上，百分比增长$= ((\text{new value} - \text{original value})/\text{original value}) \times 100\%$，也可以写成新值$= \text{original} \times (1 + p/100)$，其中$p$是百分比增长率。在微积分中，相对变化的瞬时速率是对数导数$\frac{d}{dt}[\ln f(t)] = f'(t)/f(t)$；对于指数增长$f(t) = P e^{rt}$，这个相对速率是常数，在金融学中，连续复利的回报率是$r = \ln(V_T/V_0)/T$。
Example
一个从$\$50$涨到$\$60$的价格增长了$\$10$，$10/50 \times 100 = 20\%$。一个城镇的人口从$25{,}000$增长到$31{,}000$是$24\%$的增长（$6{,}000/25{,}000 \times 100$），乘数形式也确认了这一点：$25{,}000 \times 1.24 = 31{,}000$。连续的增长不是简单相加的：连续两次$10\%$的增长得到的乘数是$1.10 \times 1.10 = 1.21$，总增长是$21\%$，而不是$20\%$；对应的对数收益率$\ln(1.21) = 0.1906 \approx 19.06\%$才是能线性相加的度量，因为$2\ln(1.10) = \ln(1.21)$。
Key Insight
百分比增长总是相对于原始数量来比较的，而不是新数量：从$\$50$涨到$\$60$是$20\%$的增长，但同样是$\$10$的增长，如果从$\$100$开始，则只是$10\%$的增长。乘数$(1 + p/100)$是理解连续百分比增长的关键，因为连续的百分比增长不是简单相加的。对数收益率（连续复利）具有简单百分比增长所没有的可加性，这正是金融学和信息论偏爱对数标度的原因：香农熵、分贝和里氏震级都是对数百分比变化能提供更自然、可加的相对量级度量的例子。