百分数
bǎi fēn shù
百分数意为“每一百中”，是把比或分数用符号%表示为一百份中若干份数的方式。
Formula
\text{percent} = \left(\frac{\text{part}}{\text{whole}}\right) \times 100
Definition
百分数意为"每一百中"：$\%$符号是"per cent"（每百）的简写，所以如果每$100$名学生中有$30$名喜欢数学，那就是百分之三十。形式上，百分数是以$100$为分母表示的比率，$p\% = p/100$，联系部分、整体和百分数的公式是$\text{part} = \text{percent}/100 \times \text{whole}$；百分数可以超过$100\%$（超过整体）或小于$1\%$（非常小的部分）。作为一个乘以$100$得到的无量纲比率（$p\% = p \times 10^{-2}$），百分数是百分误差（$|\text{approximate} - \text{exact}|/|\text{exact}| \times 100$）和百分变化（$(\text{new} - \text{old})/\text{old} \times 100$）的基础，广泛用于统计学、科学和金融领域。
Example
$50\% = 50/100 = 1/2$，$25\% = 25/100 = 1/4$；考试得分$80\%$表示$100$道题中做对了$80$道。一件$\$40$的衬衫打$15\%$折扣：折扣$= 15/100 \times \$40 = \$6$，所以促销价是$\$34$，与计算$\$40$的$85\%$结果相同。用$22/7$近似$\pi$的百分误差是$|22/7 - \pi|/\pi \times 100 \approx 0.04\%$，同样的公式也用于化学中计算百分产率，$(\text{actual yield}/\text{theoretical yield}) \times 100$。
Key Insight
百分数只是分母为$100$的分数，用一种特殊的方式书写，你所了解的关于分数的一切都适用于百分数，同样的思想只是换了个方便的外衣。百分数总是相对于一个基数（"整体"）而言：$10$的$50\%$与$1000$的$50\%$是非常不同的数量，所以在计算之前一定要先确定基数，这是现实问题中常见的一个混淆来源。百分数是金融、科学和统计学中相对变化的标准单位，因为它去除了单位和量级，使得不同数量之间可以比较；这个思想推广到用于极小浓度的"百万分之几"（ppm）和"十亿分之几"（ppb），分别改用$10^6$或$10^9$作为标度。