五边形
wǔ biān xíng
五边形是有五条边的多边形，其五个内角之和为 540 度。
Formula
\text{Interior angle sum} = 540^\circ; \text{each regular angle} = 108^\circ
Definition
五边形是有五条边和五个角的多边形，其内角之和为 $540^\circ$($=(5-2)\times180$)；正五边形每个角为 $108^\circ$，外角为 $72^\circ$，有 $5(5-3)/2=5$ 条对角线，它们构成一个五角星，其对角线与边长之比是黄金比例 $\phi=(1+\sqrt{5})/2$，满足 $\phi^2=\phi+1$。它的顶点位于单位圆上的 $\{e^{2\pi ik/5}:k=0,\ldots,4\}$，由于 $5$ 是费马素数，它可以用圆规和直尺作图，对称群是 $10$ 阶的 $D_5$。
Example
华盛顿特区的美国国防部总部大楼呈五边形。对于边长 $1$：对角线 $=\phi\approx1.618$，内角 $108^\circ$，外角 $72^\circ$，共有 $5$ 条对角线。连分数 $\phi=1+1/(1+1/(1+\ldots))$ 是最简单的无穷连分数，这使得 $\phi$ 成为"最无理"的数，是最难用有理数逼近的数。
Key Insight
前缀"penta-"在希腊语中意为五，正五边形的对角线与边长之比是黄金比例，这正是五边形和五角星在艺术与建筑中广泛出现、与美学比例相关的原因，以及它们与斐波那契数列的联系。这一嵌入五边形中的黄金比例还与斐波那契数列、连分数、最优无理数逼近、准晶体(彭罗斯镶嵌使用五边形)以及二十面体相关联，使五边形成为具有深远数学内涵的几何种子。