Pentágono
Un pentágono es un polígono con cinco lados y cinco ángulos interiores que suman 540 grados.
Formula
\text{Interior angle sum} = 540^\circ; \text{each regular angle} = 108^\circ
Definition
Un pentágono es un polígono de cinco lados y cinco esquinas, cuyos ángulos interiores suman $540^\circ$ ($=(5-2)\times180$); un pentágono regular tiene cada ángulo midiendo $108^\circ$, un ángulo exterior de $72^\circ$, y $5(5-3)/2=5$ diagonales, que forman un pentagrama (estrella de cinco puntas) cuya razón diagonal-lado es la razón áurea $\phi=(1+\sqrt{5})/2$, que satisface $\phi^2=\phi+1$. Sus vértices se ubican en $\{e^{2\pi ik/5}:k=0,\ldots,4\}$ sobre el círculo unitario, y es construible con compás y regla ya que $5$ es un primo de Fermat, con grupo de simetría $D_5$ de orden $10$.
Example
La sede del Departamento de Defensa de los Estados Unidos en Washington DC tiene forma de pentágono. Para lado $1$: diagonal $=\phi\approx1.618$, ángulo interior $108^\circ$, ángulo exterior $72^\circ$, y $5$ diagonales en total. La fracción continua $\phi=1+1/(1+1/(1+\ldots))$ es la fracción continua infinita más simple, lo que hace de $\phi$ el número "más irracional", el más difícil de aproximar por racionales.
Key Insight
El prefijo "penta-" significa cinco en griego, y el hecho de que la razón diagonal-lado de un pentágono regular sea la razón áurea es la razón por la cual los pentágonos y pentagramas aparecen a lo largo del arte y la arquitectura asociados con la proporción estética, junto con su conexión con la sucesión de Fibonacci. Esta misma razón áurea incrustada en el pentágono se conecta con las sucesiones de Fibonacci, las fracciones continuas, la aproximación irracional óptima, los cuasicristales (los mosaicos de Penrose usan pentágonos), y el icosaedro, lo que convierte al pentágono en una semilla geométrica de una profundidad matemática notable.