帕斯卡三角形（杨辉三角）
pà sī kǎ sān jiǎo xíng (yáng huī sān jiǎo)
帕斯卡三角形是一个三角形数阵,其中每个数都是它正上方两个数之和,由此生成二项式系数。
Formula
C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)
Definition
帕斯卡三角形是一个数字三角形，其中每个数都等于它正上方两个数之和，而每一行给出展开 $(a + b)^n$ 所需的系数。第 $n$ 行、第 $k$ 个位置（从 0 开始编号）的元素是二项式系数 $C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)$，遵循递推关系 $C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)$；每行之和等于 $2^n$，对角线之和给出斐波那契数，各行对 $2$ 取模后会产生谢尔宾斯基分形。更深入地看，它可以解释为一张离散卷积表，即帕斯卡矩阵（下三角、元素为二项式系数）；在特征 $p$ 的算术中，库默尔定理指出 $p \mid C(m+n, m)$ 当且仅当在 $m$ 与 $n$ 的 $p$ 进制加法中出现进位，这解释了模 $p$ 下的分形结构。
Example
第 $0$ 行：$1$。第 $1$ 行：$1\ 1$。第 $2$ 行：$1\ 2\ 1$。第 $3$ 行：$1\ 3\ 3\ 1$。第 $4$ 行：$1\ 4\ 6\ 4\ 1$。第 $5$ 行，$1\ 5\ 10\ 10\ 5\ 1$，给出 $(a+b)^5$ 的系数，之和为 $32 = 2^5$。卢卡斯定理说明 $C(n,k)$ 是奇数当且仅当在二进制下 $k$ AND $n = k$，这正是三角形模 $2$ 在每一个尺度上都产生谢尔宾斯基三角形的原因。
Key Insight
帕斯卡三角形中隐藏着令人惊讶的规律：$2$ 的幂（各行之和）、斐波那契数（对角线之和），以及谢尔宾斯基三角形（奇偶元素分布），而曲棍球棒恒等式给出了组合数对角线连续和的优雅封闭形式。卢卡斯定理（$C(m,n) \equiv \prod C(m_i, n_i) \pmod{p}$，利用 $p$ 进制数位）是有限域组合数学的基石，在编码理论中有应用。