Triángulo de Pascal
El Triángulo de Pascal es un arreglo triangular donde cada número es la suma de los dos números que están arriba de él, y genera los coeficientes binomiales.
Formula
C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)
Definition
El Triángulo de Pascal es un triángulo de números donde cada número es igual a la suma de los dos números directamente arriba de él, y cada fila da los coeficientes para expandir $(a + b)^n$. La entrada en la fila $n$, posición $k$ (indexada desde 0), es el coeficiente binomial $C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)$, siguiendo la recurrencia $C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)$; las sumas de fila son iguales a $2^n$, las sumas diagonales dan números de Fibonacci, y las filas módulo $2$ producen el fractal de Sierpinski. Más profundamente, puede interpretarse como una tabla de convolución discreta, la matriz de Pascal (triangular inferior con entradas binomiales); en la aritmética de característica $p$, el teorema de Kummer dice que $p \mid C(m+n, m)$ si y solo si hay un acarreo en la suma en base $p$ de $m$ y $n$, explicando la estructura fractal módulo $p$.
Example
Fila $0$: $1$. Fila $1$: $1\ 1$. Fila $2$: $1\ 2\ 1$. Fila $3$: $1\ 3\ 3\ 1$. Fila $4$: $1\ 4\ 6\ 4\ 1$. La fila $5$, $1\ 5\ 10\ 10\ 5\ 1$, da los coeficientes de $(a+b)^5$, sumando $32 = 2^5$. El teorema de Lucas muestra que $C(n,k)$ es impar si y solo si, en binario, $k$ AND $n = k$, que es exactamente por qué el triángulo módulo $2$ produce el triángulo de Sierpinski en cada escala.
Key Insight
El Triángulo de Pascal contiene patrones ocultos sorprendentes: potencias de $2$ (sumas de fila), números de Fibonacci (sumas diagonales), y el triángulo de Sierpinski (entradas impares frente a pares), y la identidad del palo de hockey da formas cerradas elegantes para sumas de tramos diagonales de números combinatorios. El teorema de Lucas ($C(m,n) \equiv \prod C(m_i, n_i) \pmod{p}$, usando dígitos en base $p$) es una piedra angular de la combinatoria en cuerpos finitos, con aplicaciones en la teoría de códigos.