部分与整体之比
bù fèn yǔ zhěng tǐ zhī bǐ
部分与整体之比是把一个群体中的一部分与整个群体的总数进行比较。
Formula
\text{part-to-whole ratio} = \frac{\text{part}}{\text{total}}
Definition
部分与整体之比比较一个群体中的一部分与整个群体，这与分数的想法相同：部分在上面，总数（整体）在下面。形式上，它把某个类别表示为总数的一个分数，（该类别中的数量）/（总数），与统计学中的相对频率直接相关，乘以$100$可以换算成百分数；如果一个整体按比$a:b$分成部分$A$和$B$，那么部分$A$占整体的$a/(a+b)$。在概率论中，对样本空间$S$而言，这恰好就是$P(A) = |A|/|S|$（或在测度论中对测度$\mu$而言是$\mu(A)/\mu(S)$），概率公理把部分与整体之比推广到无限和连续的场景。
Example
在一个有$20$名学生的班级中，$8$人踢足球：部分与整体之比是$8:20$，即$8/20 = 2/5$，与说$20$中有$8$，或$40\%$是一回事。一种含$3$份红色和$5$份蓝色的颜料混合物，总共$8$份，所以红色占$3/8$（$37.5\%$），蓝色占$5/8$（$62.5\%$），这让你可以按任何所需总量进行缩放。在一个$500$人的样本中，$150$人是左撇子，部分与整体之比是$150/500 = 30\%$；缩小到一个$200$人的女性子群体，其中$70$人是左撇子，得$70/200 = 35\%$，这是一个条件性的部分与整体之比。
Key Insight
部分与整体之比本质上与分数和百分数是同一回事：$20$中的$8$、$8/20$和$40\%$是表达同一件事的三种方式，分数从根本上说都是部分与整体之比。要把部分对部分之比转化为部分对整体之比，需要先求出总数，给定红色:蓝色$= 3:5$，总份数是$3+5=8$，这是许多学生在转换比的类型时容易出错的一步。部分与整体之比是概率论和统计推断的基础，但辛普森悖论表明，当各组被合并时，这些比可能会反转方向，这是一个微妙而重要的提醒：在没有仔细留意所参照的整体时，合并后的比可能具有很大的误导性。