Parámetro (Estadística)
Un parámetro es un valor numérico que describe una característica de una población entera.
Definition
Un parámetro es un número que describe algo sobre una población completa, como la media poblacional ($\mu$) o la desviación estándar poblacional ($\sigma$). Como normalmente no podemos medir a todos, los parámetros suelen ser desconocidos y deben estimarse; se usan letras griegas para los parámetros mientras que las letras romanas denotan los estadísticos muestrales. Formalmente, un parámetro $\theta$ es un elemento del espacio de parámetros que indexa la familia de distribuciones $\{F(x; \theta)\}$, y la estimación puntual, la estimación por intervalos y las pruebas de hipótesis son las tres tareas inferenciales principales relacionadas con él. En la inferencia bayesiana, $\theta$ se trata en sí mismo como una variable aleatoria con una distribución previa (prior).
Example
La estatura promedio de todos los adultos en Estados Unidos es un parámetro que no conocemos exactamente porque no podemos medir a todos. Si definimos la población como todos los estudiantes del último año de secundaria en un estado, el verdadero puntaje promedio del SAT de todos ellos es un parámetro ($\mu$), mientras que el puntaje promedio del SAT de una muestra aleatoria de $200$ estudiantes es el estadístico correspondiente ($\bar{x}$). Para una población de Bernoulli, $\theta = p$ (la probabilidad de éxito), y la MLE produce $\hat{p} = \bar{x}$ (la proporción muestral), que es insesgada y alcanza la cota inferior de Cramer-Rao.
Key Insight
Los parámetros son los valores verdaderos que quisiéramos conocer; los estadísticos calculados a partir de muestras son nuestras mejores conjeturas sobre esos valores verdaderos, y el objetivo de la inferencia estadística es usarlos para hacer afirmaciones bien fundamentadas sobre parámetros poblacionales desconocidos. La desigualdad de Cramer-Rao da una cota inferior teórica sobre la varianza de cualquier estimador insesgado de $\theta$, proporcionando un punto de referencia para la eficiencia.