平行四边形
píng xíng sì biān xíng
平行四边形是有两组平行边的四边形，对边相等，对角也相等。
Formula
\text{Area} = \text{base} \times \text{height}
Definition
平行四边形是一个四边形，其两组对边分别平行且长度相等，对角也相等；相邻角互补，对角线互相平分。面积 $=$ 底 $\times$ 高，使用两条平行边之间的垂直高度，而不是斜边的长度。以相邻两边为向量 $u$ 和 $v$，面积为 $|u \times v|$，两条对角线为 $u+v$ 和 $u-v$，平行四边形定律指出 $|d_1|^2+|d_2|^2 = 2(|u|^2+|v|^2)$。
Example
一摞倾斜的书或棒球场上的菱形场地形状都像平行四边形；矩形是四个角都是直角的特殊平行四边形。底为 $10$，斜边为 $8$，高为 $6$：面积 $=10\times6=60$，而不是 $10\times8$。对于 $u=(3,0)$，$v=(1,4)$：面积 $=|3\cdot4-0\cdot1|=12$，对角线 $u+v=(4,4)$ 长度为 $4\sqrt{2}$，$u-v=(2,-4)$ 长度为 $2\sqrt{5}$，且 $32+20=52=2(9+17)$，验证了平行四边形定律。
Key Insight
面积公式之所以成立，是因为平行四边形可以通过将一个直角三角形从一端移到另一端，重新排列成一个底和高相同的矩形，这是一个直观证明，说明面积在形状改变后依然保持不变。平行四边形定律刻画了内积空间的特征：一个赋范空间具有点积结构，当且仅当平行四边形定律在其中成立，这一代数恒等式的根源正是这个简单的对角线-边关系，而一般平行四边形的对称群只是 $\mathbb{Z}_2$(一个 $180^\circ$ 旋转)。